Omologia e Coomologia
Il corso è una introduzione all’Omologia e alle
sue applicazioni in Algebra e Geometria. L’Omologia (risp. la Coomologia) studia i complessi di catene (risp. di cocatene). Si tratta di oggetti algebrici che appaiono di
frequente in Matematica, in situazioni anche molto diverse tra di loro ed è per
questo che l’Omologia ha numerose applicazioni in Teoria dei Gruppi e Algebra
(Non-)Commutativa, in Topologia e in Geometria Differenziale, ma anche in
contesti più applicati come la Fisica Matematica, la Teoria delle Equazioni
Differenziali, l’Analisi Numerica fino alla Scienza dei Dati.
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Prerequisiti
Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso è
richiesta una conoscenza di base dei corsi di Geometria e Algebra del primo
biennio della Laurea Triennale in Matematica. Giocheranno un ruolo particolare
le nozioni algebriche di Spazio Vettoriale, Applicazione Lineare, Gruppo,
Gruppo Abeliano, Omomorfismo di Gruppi, Anello e le nozioni geometriche di
Spazio Toplogico e Mappa Continua (incluse le loro
proprietà di base).
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Programma
1.
Algebra
Multilineare.
2.
Complessi
di (Co)Catene.
3.
Omologia
Singolare di uno Spazio Topologico.
4.
(Co)omologia
di Strutture Algebriche.
5.
Coomologia di De Rham (tempo
permettendo).
Il programma dettagliato del corso è disponibile
nella scheda sul sito del dipartimento.
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Compiti a
casa
Durante il corso verranno proposti, su base
settimanale, esercizi da svolgere come “compito a casa”, fuori dall’orario di
lezione e in autonomia o in gruppo. Gli interessati potranno inviarmi i loro
compiti durante il corso. Li restituirò corretti appena possibile. Gli
studenti sono vivamente invitati a cimentarsi nei compiti a casa e a tener
presente che tanto più si impara quanto
più si elabora in autonomia il materiale del corso. Detto in altri termini,
non si impara la Matematica se non ci si sporca le mani. In caso di
dubbi, sarò comunque a disposizione durante l’orario di ricevimento.
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Esame
L’esame può essere svolto in una a scelta delle
2 seguenti modalità:
MODALITÀ D’ESAME 1: lo studente risolve e
consegna i compiti a casa durante il corso. Dopo il corso, ed entro l’anno
accademico in cui si è svolto il corso, tiene un seminario su un argomento di
approfondimento concordato con me. Il
seminario può rappresentare base di partenza per un più approfondito lavoro di
tesi.
MODALITÀ D’ESAME 2: un’unica prova orale
tradizionale sugli argomenti trattati a lezione.
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Materiale
Didattico
Sono disponibili le dispense del corso (in
inglese) che coprono l’intero programma e saranno seguite da vicino, con
possibili variazioni nell’ordine degli argomenti. Le dispense possono essere
scaricate qui e
andranno soggette a inevitabili piccoli aggiustamenti nel tempo. Sono inclusi,
per ogni sezione, alcuni esercizi. Parte di questi esercizi confluirà nei
compiti assegnati per casa. Lo studente che rilevasse qualche errore nelle
dispense è pregato di segnalarmelo! Sono anche disponibili a questa
pagina le lavagne riempite a lezione per l’anno accademico in corso, divise
per data. I compiti a casa validi per l’esame nella MODALITÀ 1 possono essere
scaricati qui
e andranno soggetti ad aggiornamento settimanale. L’elenco di tutti i link
utili è anche in fondo.
Per approfondire, lo studente può consultare
SUGLI
ASPETTI ALGEBRICI:
-
C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra,
Cambridge University Press.
SUGLI ASPETTI GEOMETRICI:
-
J. M. Lee, Introduction to Topological Manifolds,
Graduate Texts in Mathematics, Springer.