Istituzioni di Geometria Superiore
Il corso ha contenuti di Geometria Differenziale.
Più in dettaglio, si tratta di un corso di introduzione alle varietà differenziabili e al calcolo
differenziale su di esse (vedi la pagina di wikipedia per un’idea a riguardo). La
Geometria Differenziale è il linguaggio naturale della Meccanica Classica e, in
una certa misura, Quantistica ma ha numerosissime applicazioni anche in
Matematica Pura e Applicata, per esempio alla Topologia Algebrica, e alle
Equazioni Differenziali.
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Prerequisiti
Ai fini di una fruttuosa partecipazione al corso
sono richieste, come prerequisiti, conoscenze di base su: spazi vettoriali,
topologia generale e calcolo in molte variabili.
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Programma
1.
Varietà
lisce.
2.
Funzioni
e mappe lisce, sottovarietà.
3.
Spazi
tangenti ad una varietà.
4.
Immersioni,
sommersioni, diffeomorfismi locali e embedding.
5.
Campi
vettoriali e flussi.
6.
Simmetrie
e simmetrie infinitesimali.
7.
1-forme
e fibrato cotangente.
8.
Forme
differenziali.
9.
Calcolo
di Cartan.
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Compiti a
casa
Le dimostrazioni delle proposizioni enunciate a
lezione saranno in parte lasciate come compito a casa per gli studenti, insieme
alla discussione di alcuni esempi. Questo nella convinzione che tanto più si impara quanto più si elabora in
autonomia il materiale del corso. Lo svolgimento dei compiti a casa è parte
integrante dell’esame (cfr. la sezione “Esame” più sotto). Facoltativamente,
gli studenti potranno discutere i compiti con me durante l’orario di
ricevimento, nel semestre in cui si segue il corso, preferibilmente in piccoli
gruppi. Sottolineo che questa modalità di correzione è riservata agli studenti
che seguono il corso e risolvono gli esercizi nello stesso semestre. I compiti
a casa dovranno comunque essere consegnati, al più tardi, al momento dell’esame.
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Esame
L’esame consiste di una prova orale divisa in
tre parti:
1) un colloquio tradizionale (assegna da 0 a 24
punti),
2) una discussione dei compiti a casa* (assegna da
0 a 3 punti),
3) la risoluzione di uno/due esercizi (assegna da
0 a 3 punti).
*Al momento dell’esame lo studente consegna i
compiti a casa, in versione cartacea. Sceglierò uno/due problemi, e lo studente
dovrà commentarne le soluzioni. Sono dispensati da questo punto 2) gli studenti
che abbiano già discusso con me i compiti a casa durante il corso.
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Materiale
Didattico
Le dispense del corso (in inglese) sono state
pubblicate nel 2024 da World Scientific nel seguente volume:
A Primer on
Smooth Manifolds, World Scientific,
e costituiscono testo di riferimento per l’esame.
Il corso copre i primi 8 capitoli del testo (che comprende due capitoli
aggiuntivi). Non occorre acquistare il volume di World Scientific: su
richiesta, ne fornirò una versione personale in formato elettronico (.pdf).
Le lavagne riempite a lezione e i compiti a casa
validi ai fini della parte 2) dell’esame saranno resi disponibili (tipicamente
tramite classe virtuale MS Teams) durante il corso. Inoltre, è possibile
scaricare qui
un piccolo campionario di esercizi utili alla preparazione della parte 3)
dell’esame.
Il testo consigliato per approfondimenti è
-
J. M. Lee, Introduction to Smooth
Manifolds (II Edizione), Springer.
È un
testo autoconsistente. Praticamente tutti i necessari prerequisiti di Algebra
lineare, Analisi e Topologia sono richiamati in appendice. Inoltre è un testo
per molti versi elementare: l’autore discute la maggior parte delle
dimostrazioni e, in pratica, solo la routine è lasciata per esercizio. In più,
ogni capitolo è corredato da Problemi per aiutare lo studente a testare la
propria comprensione della teoria. Per contro, l’approccio alla materia non è
del tutto identico a quello adottato nel corso.