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ANNO ACCADEMICO 2012-13

Nel primo semestre dell’A.A. 2012-13 terrò i seguenti corsi:

Geometria Differenziale

L’obiettivo del corso è quello di dare agli studenti una panoramica della moderna geometria differenziale, in particolare per quel che riguarda le varietà differenziabili e il calcolo differenziale e integrale su di esse. “Varietà differenziabile” è qualunque oggetto geometrico che possa essere descritto, nell’intorno di un suo generico punto, da un numero finito di parametri reali (“coordinate locali”), con l’unica naturale condizione che, nel passaggio da un sistema di coordinate ad un altro, le formule di trasformazione siano espresse da funzioni differenziabili. Proprio tale condizione permette di estendere alle varietà i risultati e i metodi di calcolo dell’analisi matematica classica, rendendo così la teoria delle varietà differenziabili un potente strumento d’indagine, le cui innumerevoli applicazioni vanno dalla meccanica analitica, alla fisica matematica, alla teoria dei sistemi dinamici, alla topologia algebrica, alla teoria delle singolarità e delle catastrofi, allo studio delle equazioni differenziali, ecc. La prima parte del corso è dunque dedicata a sviluppare tali tecniche di calcolo e ad esemplificare alcune delle possibili applicazioni.

La seconda parte del corso sarà dedicata allo studio di alcune classi notevoli di varietà differenziabili. In particolare:

- verranno esposti gli elementi della geometria riemanniana, nata come generalizzazione della geometria intrinseca delle superfici scoperta da Gauss, e divenuta poi lo strumento matematico fondamentale della teoria della relatività einsteiniana;

- saranno dati cenni sui gruppi di Lie, cioè i “gruppi continui finiti” di trasformazioni introdotti da S. Lie alla fine del XIX secolo con lo scopo di applicare la teoria dei gruppi allo studio delle equazioni differenziali.

A giorni metterò su questa pagina il programma dettagliato del corso.

Modalità di svolgimento del corso. Il corso ha una durata di 48 ore, divise in 24 lezioni di due ore, due lezioni a settimana (con cadenza regolare, alcune lezioni saranno dedicate allo svolgimento di esercizi).

Materiale didattico. Durante il corso verranno distribuite agli studenti delle dispense che corrispondono al programma che sarà svolto; inoltre, saranno distribuiti anche esercizi con il relativo svolgimento.

Prerequisiti. Non c’è nessuna propedeuticità ufficiale. In pratica, per seguire il mio corso è sufficiente conoscere l’algebra lineare (Geometria I e II della laurea triennale) e il calcolo differenziale e integrale in più variabili (Analisi 3 e 4 della laurea triennale). Non è invece necessaria la conoscenza preliminare né della topologia generale (le poche nozioni necessarie verranno impartite all’inizio del corso), né della geometria differenziale classica di curve e superfici nello spazio euclideo.