-
Insiemi: definizioni e
proprietà
-
Relazioni: relazioni tra insiemi;
massimi e minimi; maggioranti e minoranti; definizione e proprietà
caratteristiche dell’estremo superiore e inferiore; operazioni tra insiemi
-
Insiemi
numerici e cardinalità:
insiemi N, Z, Q, R, C
-
Principio
di induzione
-
Numeri
reali: definizioni
e proprietà; Assioma di Dedekind; proprietà di
Archimede; teorema sulla non completezza di Q; sezione di R ed elemento
separatore; densità di Q in R
-
Numeri
complessi:
definizioni e proprietà; forma algebrica e forma trigonometrica di un numero complesso;
radici n-esime di numeri complessi; formule di De Moivre
3 – Trigonometria
-
Richiami
di trigonometria
-
Formule:
di
addizione e sottrazione;
di
duplicazione; di prostaferesi; di bisezione
-
Disequazioni: disequazioni
trigonometriche
4 – Funzioni reali
-
Funzioni
reali: intervalli
ed intorni; grafici e proprietà geometriche delle
funzioni; invertibilità di una funzione; funzioni composte
-
Funzioni
limitate: definizioni;
estremo inferiore e superiore di una funzione; punti di massimo e di minimo di
una funzione
-
Funzioni
monotone: definizioni;
teorema sull’invertibilità delle funzioni strettamente monotone
5 – Funzioni elementari
-
Funzioni
elementari:
definizioni e proprietà; funzione valore assoluto; funzione potenza; funzione radice;
funzione esponenziale; funzione logaritmo; funzioni trigonometriche;
-
funzioni
trigonometriche inverse
6 – Successioni Numeriche
–
Successioni:
definizioni;
successioni convergenti, divergenti; successioni limitate; successioni monotone
–
Limiti
di successioni:
definizione; teorema dell’unicità del limite; teorema sulla limitatezza delle
successioni convergenti
–
Teoremi
sui limiti:
operazioni con i limiti; forme indeterminate
–
Teoremi
di confronto:
teorema della permanenza del segno e corollari; teorema dei carabinieri
–
Limiti
delle successioni monotone: teorema di regolarità delle successioni monotone; il numero
e
–
Successioni
estratte:
definizione e proprietà; teorema sulla convergenza di estratte di successioni
convergenti; teorema di Bolzano – Weierstrass
–
Successioni
di Cauchy: definizione; teorema sulla convergenza delle
successioni di Cauchy
7 – Limiti di Funzione
–
Definizioni
e proprietà:
punto di accumulazione e punto isolato; definizione di limite, limite destro e
sinistro; teorema dell’unicità del limite
–
Operazioni
sui limiti: limite
della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni (senza
dimostrazione); limiti
di funzioni composte (senza dimostrazione)
–
Legame
tra limiti di funzioni e limiti di successioni
–
Funzioni
continue
–
Discontinuità:
punti di
discontinuità
–
Proprietà
delle funzioni continue: teorema
della permanenza del segno e corollari; teorema dell’esistenza degli zeri;
teorema di Bolzano o dell’esistenza dei valori intermedi; teorema di Weierstrass (senza dimostrazione)
–
Continuità
e invertibilità:
criterio di continuità per le funzioni monotone; monotonia delle funzioni
continue e invertibili su intervalli (senza dimostrazione); teorema di continuità delle
funzioni monotone definite su intervalli; teorema di monotonia delle funzioni
continue e invertibili su intervalli (senza dimostrazione); teorema di
continuità delle funzioni inverse
–
Limiti
notevoli
–
Confronti
e stime asintotiche: ordine
degli infiniti; funzioni asintotiche
8 – Derivate
–
Derivata:
premesse e
definizioni; significato geometrico della derivata; derivata destra e sinistra;
continuità delle funzioni derivabili
–
Operazioni
con le derivate: derivazione
della somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni derivabili (senza
dimostrazione); derivate delle funzioni composte (senza dimostrazione)
–
Derivate
delle funzioni elementari
9 – Applicazioni delle derivate
–
Massimi
e minimi relativi: definizioni;
teorema di Fermat; teoremi di Rolle
e Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange
–
Funzioni
crescenti e decrescenti: criterio
di monotonia e di stretta monotonia
–
Funzioni
convesse e concave: definizioni;
criterio di convessità; punti di flesso
–
Teoremi
di L’Hopital: primo e secondo teorema di L’Hopital;
utilizzo di teoremi di L’Hopital nella risoluzione
delle forme indeterminate
–
Studio
del grafico di una funzione
–
Formula
di Taylor: resto
di Peano; uso della formula di Taylor nel calcolo di
limiti
10 – Integrali
–
Il
metodo di esaustione, integrazione secondo Riemann: definizione di integrale definito; caratterizzazione delle
funzioni integrabili (senza dimostrazione); proprietà degli integrali
indefiniti; teorema della media
–
Uniforme
continuità: definizione;
teorema di Cantor (senza dimostrazione); integrabilità delle funzioni continue
–
Teorema
fondamentale del calcolo integrale: funzione integrale
–
Primitive:
definizione
di primitiva; caratterizzazione delle primitive di una funzione in un
intervallo; formula fondamentale del calcolo integrale; integrale indefinito
–
Regole
di integrazione: integrazione
per decomposizione in somma; integrazione per parti e per sostituzione;
integrazione delle funzioni razionali e irrazionali
–
Integrali
impropri: definizioni
e proprietà
11 – Funzioni di più variabili reali
–
Funzioni
di due variabili: dominio
e grafico
–
Limiti
e continuità
–
Derivate
parziali e gradiente
–
Derivate
successive; teorema di Schwarz (senza dimostrazione)
–
Massimi
e minimi relativi
12 – Serie numeriche
–
Definizioni
ed esempi: condizione
necessaria per la convergenza di una serie; criterio di Cauchy
per le serie
–
Serie
a termini non negativi
–
Serie
geometrica
–
Serie armonica
–
Criteri
di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto; criterio degli
infinitesimi; criterio del rapporto; criterio della radice
–
Serie
alternate:
criterio di convergenza di Leibniz (senza
dimostrazione)
–
Convergenza
assoluta: teorema
sulla convergenza assoluta
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